Le lissage cartographique

But et principe du lissage | Exemple de lissage

But et principe du lissage

Le but du lissage est d'aider l'oeil dans la lecture d'une carte. De même qu'une tendance résume de manière plus facilement compréhensible une série de valeurs relévées au fil du temps, une carte lissée permet de dégager uniquement les grands phénomènes. Il s'agit d'un résumé d'une carte. Cela s'avère d'autant plus nécessaire qu'une carte non lissée est une juxtaposition de couleurs différentes, une mozaïque dont il est difficile de faire rapidement la synthèse.

Pour pouvoir lisser les données, on suppose que la distribution sous-jacente est continue. C'est à dire que le phénomène étudié prend des valeurs qui diffèrent progressivement au fur et à mesure qu'on se déplace dans l'espace autour d'un point donné. Le lissage, dans ses versions les plus simples, ne tient compte que de distances à vol d'oiseau, et ignore à ce titre les barrières naturelles que peuvent représenter un fleuve, un bras de mer, une montagne. Il convient donc d'être particulièrement prudent lors du lissage, soit de zones très montagneuses, soit d'îles. La prudence est également de mise quand on arrive à des niveaux assez fins de détail géographique, au niveau infra-communal en particulier. Dans ces zones, la notion de frontière est très importante, et la continuité de la distribution n'est que rarement garantie.

Comment lisser ? La méthode proposée ici (qui est loin d'être la seule) est inspirée de la statistique non paramétrique. Elle permet d'estimer, en n'importe quel point du territoire, une valeur lissée. Celle-ci est la moyenne pondérée des données observées alentour. La fonction de pondération est décroissante avec la distance, et devient nulle au-delà d'une certaine distance critique, appelée rayon de lissage ou distance d'intérêt du lissage. Là encore, diverses formules ont été proposées pour la pondération. Nous retenons, pour ses résultats honnêtes et son temps de calcul raisonnable, une formule appelée biweight, qui a l'aspect et la formule ci-contre. La valeur du rayon de lissage est extrêmement influente sur le résultat, puisqu'elle situe la limite au-delà de laquelle on néglige l'influence des points observés. Elle caractérise le niveau de synthèse de la carte lissée : une faible distance d'intérêt va continuer à donner la préséance aux phénomènes locaux, tandis qu'une forte valeur ne rendra compte que des grandes tendances sur la majeure partie du territoire cartographié (voir l'exemple ci-dessous).

Le fait de proposer, comme valeur lissée, une moyenne pondérée et non une somme des valeurs pondérées permet de s'affranchir des problèmes ordinairement rencontrés aux frontières sur les cartes lissées : faute d'être entourées par tous côtés de valeurs observées, les valeurs lissées sont plus basses aux frontières (côtes, frontières politiques) qu'à l'intérieur de la zone représentée. Notre méthode par moyenne s'affranchit de ce handicap.

Il est en revanche vain d'essayer de retrouver en un point précis de l'espace la donnée qui y a été observée. C'est en général la plus grande difficulté rencontrée dans la compréhension d'une carte lissée. Il convient en particulier d'admettre que les exceptions seront gommées au profit de la règle : on le verra dans l'exemple qui suit, où le vote particulier de Paris et de l'extrême sud-est de la France sont progressivement gommés au profit de la majorité des votes environnants, à mesure qu'on augmente le rayon de lissage.

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Exemple de lissage

On travaille toujours sur les données départementales du vote Chirac au premier tour de la présidentielle 2002. On part des données brutes qui fournissent la carte ci-dessous.

On va ensuite calculer des valeurs lissées pour chacune des 36000 communes françaises. On fera varier le rayon de lissage. La distance utilisée est la distance entre la mairie et la préfecture. On pondère avec la formule biweight vue ci-dessus. Dans la galerie de graphiques ci-dessous, on voit au fur et à mesure que le rayon de lissage augmente : rayon de lissage trop petit (< 20 km) : toutes les communes n'ont pas de valeur. Les phénomènes locaux sont encore trop apparents rayon de lissage "département -> région" (entre 25 et 40 km) : on retrouve les données brutes ci-contre, et progressivement les données moyennées au niveau de la région rayon de lissage "région -> france"(50 km et plus) : les phénomènes régionaux se diluent à leur tour dans la tendance nationale. la carte extrême (rayon = 500 km) ne montre plus qu'une seule couleur !

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